Можно ли применить к сотруднику дисциплинарное взыскание, если он использует Интернет в личных целях в обеденный перерыв

Да, можно, но при двух условиях.

Первое: сотрудник использует рабочий компьютер и интернет-трафик.
Второе: локальный акт или трудовой договор предусматривает условие, которое запрещает сотрудникам использовать ресурсы работодателя, в том числе Интернет и рабочий компьютер,
в личных целях (ст. 8, 192 ТК).

Однако работодатель при выборе взыскания должен помнить о принципе соразмерности.
Так, если сотрудник пользовался личной почтой и это не приводило к зависанию или перебоям в сети организации, то такие действия нельзя рассматривать как достаточное основание для увольнения.
Даже если это было неоднократно (абз. 5 ст. 192 ТК).
Если сотрудник посещает сайты через личный смартфон, ноутбук или планшет и при этом пользуется собственной или бесплатной интернет-связью, то у работодателя нет оснований привлекать сотрудника к ответственности.